Открытые уроки по физике |
|
|
|
|
|
Русская дистанционная школа физики
|
Урок 3. Термодинамика круговых процессов. На этом уроке мы будем рассматривать круговые процессы, совершаемые с рабочим телом, в нашем случае – с идеальным газом. При этом рабочее тело на разных этапах участвует в различных квазистационарных процессах, переходя из одного равновесного состояния в другое, и в конечном итоге возвращается в исходное состояние. На диаграммах такие процессы изображаются замкнутыми линиями. Устройство, в котором круговой процесс, изображенный на pV- диаграмме, идет по часовой стрелке, называют тепловой машиной. Поскольку изменение внутренней энергии при круговом процессе равно нулю (внутренняя энергия является функцией состояния), алгебраическая сумма количеств теплоты, подводимых к рабочему телу, равна работе, совершаемой рабочим телом за цикл (первый закон термодинамики). Если суммарное подводимое к рабочему телу количество теплоты обозначить через Q1, а суммарное количество отводимого тепла через Q2, то работа, совершенная рабочим телом, равна A = Q1 – Q2 . Эффективность работы тепловой машины принято характеризовать коэффициентом полезного действия (КПД): . Поскольку в случае тепловой машины Q1 >Q2, то h< 1. Если круговой процесс происходит в обратном направлении, против часовой стрелки на pV- диаграмме, т.е. устройство работает как холодильная машина или тепловой насос, тепловые потоки изменяют свои направления: там, где раньше рабочее тело отдавало тепло, теперь получает его от внешнего резервуара, а там, где получало, теперь отдает тепло. Таким образом, уже не рабочее тело совершает работу, равную разности подводимых и отводимых количеств теплоты, а за счет внешней работы, совершаемой над рабочим телом, тепло, отбираемое от внешнего тела с меньшей температурой (холодильника), передается внешнему телу с большей температурой (нагревателю). Тепловой насос оказывается более эффективным устройством для обогрева помещений, чем электрические нагреватели с коэффициентом полезного действия в 100%. Количество тепла Q2, полученное с помощью теплового насоса, равно Q2 = A + Q1. Получается, что КПД теплового насоса, работающего в качестве нагревателя, больше 100%. В свое время это обстоятельство очень удивило инженеров и обсуждалось в журнале “Техника – молодежи”. Несмотря на высокую тепловую эффективность тепловых насосов широкого применения в качестве обогревателей помещений они пока не получили. Еще не удалось найти хорошую конструкцию, достаточно простую, надежную и дешевую. Но изобретатели и инженеры продолжают свои поиски, и, возможно, в недалеком будущем, батареи центрального отопления в наших домах заменят тепловые насосы, перекачивающие тепло из морозного воздуха улицы внутрь теплой комнаты. Перейдем к решению конкретных задач. Лучший способ изучения физики – решение задач по физики. Задача 1. На диаграмме зависимости давления p от объема V для некоторой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изобарами в точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 1). Найдите отношение температурТ3/Т1 в точках 3 и 1, если отношение объемов в этих точках V3/V1= a. Объемы газа в точках 2 и 4 равны. Рассмотрим изобарические
участки.
, где Т1 и Т2 – температуры газа на изотермах 4 – 1 и 2 – 3,а V1и V2 – объемы газа в состояниях 1 и 2. Аналогичное соотношение для состояний 3 и 4 будет иметь вид , где V3и V4 – объемы газа в состояниях 3 и 4. Добавим два очевидных соотношения и получим следующую систему уравнений: V2 = V4, V3/V1 = a .
Решать систему уравнений можно различными способами, но удобно из третьего и четвертого уравнений выразить отношение Т3/Т1 и равное ему Т2/Т1, перемножить почленно и получить , откуда . Задача 2. На рисунке 2 для n молей гелия показан цикл, состоящий из двух участков линейной зависимости давления p от объема V и изобары. На изобаре 1–2 газ совершил работу А, и его температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Точки 2 и 3 на pV-диаграмме лежат на прямой, проходящей через начало координат. Определите температуру газа в точке 1. Определите также работу газа за цикл. Обозначим температуру гелия в состоянии 1 через Т1, тогда температура в состоянии 2 будет равна 4Т1. Пусть давление на изобаре 1-2 равно p1, тогда работа, которую совершил газ при изобарическом процессе, равна , где V1 и V2 – объемы гелия в состояниях 1 и 2. Поскольку и , то . Отсюда . Работу газа за цикл вычислим по площади треугольника 123: где p3– давление газа в состоянии 3. Из уравнения состояния для идеального газа найдем , . После подстановки значений V1 и V2 в выражение для работы газа за цикл получим . Так как на нашей pV-диаграмме точки 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, можно записать соотношение . Поскольку и , то . Отсюда , и окончательно . Задача 3. Найдите работу А, которую совершает моль гелия в замкнутом цикле, состоящим из адиабаты 1-2, изобары 2-3 и изохоры 3-1(рис. 3). В адиабатическом процессе разность максимальной и минимальной температур газа равна D Т. В изобарическом процессе от газа отвели количество теплоты Q. Рассмотрим адиабатический процесс 1-2. Процесс идет с увеличением объема газа, следовательно, газ совершает работу. В адиабатическом процессе работа, совершаемая газом, численно равна изменению внутренней энергии газа, взятому с противоположным знаком, следовательно, температура газа уменьшается. В состоянии 1 температура максимальна, а в состоянии 2 – минимальна, поэтому можно записать . Рассмотрим изобарический процесс 2-3. По первому началу термодинамики можно записать , где - молярная теплоемкость гелия при постоянном объеме, р2 – давление газа в изобарическом процессе 2-3. Отсюда с учетом соотношений и , получим . На изохорическом участке 3-1 работа газом не совершается, а увеличение внутренней энергии газа происходит за счет подвода тепла: . Работа, совершаемая молем газа в заданном цикле, равна . Задача 4. Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ нагревают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (рис. 4). При этом газ совершает работу А12. Затем газ сжимают в процессе 2-3, когда его давление р прямо пропорционально объему V. При этом над газом совершается работа А23 (А23 >0).Наконец, газ сжимается в адиабатическом процессе 3-1, возвращаясь в первоначальное состояние. Найдите работу сжатия А31, совершаемую над газом в адиабатическом процессе. Введем обозначения: температуры и объемы в состояниях 1,2 и 3 обозначим через Т1, Т2 ,Т3 и V1, V2 и V3, давление на изобаре 1-2 через p1, в состояниях 2 и 3 как p2 и p3, работы на участках 1-2, 2-3 и 3-1 через А12, А23 и А31, n- число молей гелия. Запишем выражения для работы на участках 1-2, 2-3 и 3-1. , , . На pV-диаграмме точки 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, следовательно, или , и выражение для работы A23 приобретает вид . Полученную систему можно
решать различными способами, но удобно выразить T2
–T1 из первого уравнения, T2
–T3 из последнего, получить
T1
–T3 и подставить в А31.
Окончательно имеем
=. Задача 5. КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1 (рис. 5), равен h , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна DТ. Найдите работу, совершенную n молями идеального одноатомного газа в изотермическом процессе. Нам задан КПД цикла, поэтому сначала разберемся, на каких участках цикла тепло подводится к газу, а на каких отводится. На изотермическом участке 1-2 газ совершает работу (происходит увеличение объема), а поскольку внутренняя энергия газа не изменяется (почему?), то работа газа совершается за счет подвода тепла. Обозначим подведенное количество тепла через Q1. На изохоре 2-3 при постоянном объеме происходит падение давления. Очевидно, что это осуществляется за счет уменьшения температуры газа, и в этом случае тепло отводится от газа. Обозначим отведенное количество тепла через Q2. На адиабатическом участке 3-1 не отводится и не подводится, а с уменьшением объема над газом совершается работа, и его температура растет. Следовательно, в точке 3 газ имеет наименьшую температуру Tmin, а максимальная температура Tmax газа была на изотерме 1-2. Таким образом, Tmax - Tmin = DТ. Поскольку речь идет о КПД, запишем определение КПД замкнутого цикла: . На изотермическом участке . Решив эту систему уравнений, получим . Задача 6. КПД цикла 1-2-4-1 равен h1, а цикла 2-3-4-2 равен h2 (рис. 6). Найдите КПД цикла 1-2-3-4-1. Участки 4-1 и 2-3 изохоры, участок 3-4 изобара, участки 1-2 и 2-4 представляют линейную зависимость давления от объема. Все циклы обходятся по часовой стрелке. Рабочее вещество – идеальный газ.
Рассмотрим цикл 1-2-4-1. На участке 1-2 тепло подводится к газу (почему?). Обозначим подведенное количество теплоты через Q1. На участке 2-4 тепло отводится (почему?). Обозначим его через Q2. Подводимое (почему?) к газу на изохорическом участке 4-1 количество теплоты обозначим через Q3. Если обозначить работу, совершаемую газом в этом цикле через А1, то КПД цикла равен . С другой стороны, , откуда получим . Теперь рассмотрим цикл 2-3-4-2. На участках 2-3 и 3-4 тепло отводится от газа (почему?). Подводится тепло только на участке 4-2 и подведенное количество теплоты, очевидно, равно Q2. КПД данного цикла равен , где А2 – работа, совершаемая газом в этом цикле. Используя выражение для Q2, можно записать . КПД цикла 1-2-3-4-1 равен . Выразив А1 и А2 из выражений для h1 и h2, получим .
Домашнее задание: Из Базового задачника задачи 8.94 –8.98. Из Задачника для физиков: Задача 1. На pV- диаграмме для некоторой массы идеального газа две изобары и две изохоры пересекаются в точках 1,2,3 и 4 (рис. 7). Найдите температуры газа Т1 и Т3 в точках 1и 3, если точки 2 и 4 лежат на прямой, проходящей через начало координат, а температуры газа в этих точках равны Т2 и Т4 соответственно. Ответ:
Задача 2. Цикл для n молей гелия состоит из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры (рис. 8). В изохорическом процессе 1-2 газу сообщили количество теплоты Q, и его температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки 1 и 3 на pV-диаграмме лежат на прямой, проходящей через начало координат. Найдите температуру в точке 1 и работу газа за цикл. Ответ: ; . Задача 3. Моль гелия совершает работу А в замкнутом цикле, состоящем из адиабаты 1-2, изотермы 2-3 и изобары 3-1 (рис. 9). Найдите работу, совершенную в изотермическом процессе, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна D Т. Ответ: . Задача
4. Газообразный гелий находится
в цилиндре под подвижным поршнем. Газ сжимают в адиабатическом процессе,
переводя его из состояния 1 в состояние 2. Над газом при этом совершается
работа сжатия А12
(А12 >0).
Затем газ расширяется в изотермическом процессе 2-3, и наконец из состояния
3 газ переводят в состояние 1 в процессе, когда его давление прямо пропорционально
объему. Найдите работу А23,
которую совершил газ в процессе изотермического расширения, если во всем
замкнутом цикле 1-2-3-1 он совершил работу А.
Получить систематическое образование по математике, физике, химии, биологии можно в Русской интерактивной дистанционной школе физики. |