В.П. Смилга, Десять историй о математиках и физиках

Глядя на мир, нельзя не удивляться.

Плюнь тому в глаза, кто скажет, что можно объять необъятное.

Козьма Прутков

Попытаемся кое-что прояснить. Начнем с вопроса: а что же это, собственно, такое - математика? С физикой несколько проще. Интуитивно все представляют себе: физика исследует наш реальный мир и его законы. Пусть это достаточно расплывчатые слова, однако суть поймана.

До недавнего времени обычно уточняли: физика изучает неживую природу. Сегодня, в эпоху расцвета биофизики, «уточнение» безнадежно устарело.

Но для математики ответ не столь ясен. Картина окажется еще туманней, если задуматься, почему математика так поразительно эффективна при анализе бесконечно разнообразных явлений природы, адекватно описывая наш мир.

Математика, как известно, "царица и служанка всех наук". Наука становится наукой постольку, поскольку в нее проникает число - примерно так писал замечательный французский математик Эмиль Борель. И если говорить о связи математики и физики, то, на первый взгляд, вообще трудно различить, где кончается математика и начинается теоретическая физика.

Что касается физики экспериментальной - тут более или менее ясно. Эксперимент - это эксперимент. А вот теоретическая физика - это, казалось бы, просто глава математики. Кстати, иногда так и думают.

Но вот Л.Д .Ландау любил повторять, что математики доказывают теоремы для собственного удовольствия, а для физика-теоретика самое опасное - перегрузиться математической ученостью. Можно, конечно, спорить с такой позицией, но, вероятно, нельзя отказать Ландау в праве иметь свои соображения о теоретической физике. И Ландау далеко не одинок. Пожалуй, не найдешь ни одного крупного физика-теоретика, который в той или иной форме не подшучивал бы над математикой и математиками.

Правда, математики тоже не безответные агнцы. Еще Давид Гильберт (один из признанных острословов среди знаменитых ученых) говорил: "В сущности, теоретическая физика слишком трудна для физиков". Но сам он, хотя и пробовал заниматься теоретической физикой (общей теорией относительности), успеха не добился, и Эйнштейн характеризовал его работы как "жульничество сверхчеловека" (обычно корректно переводят - "плутни" - В.С.).

Конечно, все это легкое взаимное подкалывание следует понимать "в пиквикском смысле". Реально - профессионалы столь смежных областей весьма и весьма уважают и ценят друг друга. Но нам сейчас важно, что все они - и физики-теоретики, и математики - полагают: "науки наши разные". И, очевидно, им приходится верить, потому что кому же в конце концов судить, как не им.

Можно много и долго рассуждать, повторяя умные слова, которые говорились по этому поводу. Но, может, разумней просто рассказать несколько историй, притч - как вам угодно, а там вы вольны сами делать выводы. Впрочем, я как автор, конечно, не смогу удержаться от назидательного резюме.

В общем, думаю, нам полезно прислушаться к замечанию Исаака Ньютона, который как-то обмолвился: "При изучении наук примеры полезнее правил".

В 1924 г. тридцатисемилетний профессор Цюрихского университета Эрвин Шредингер прочитал работу Луи де Бройля, в которой движение свободных частиц сопоставлялось с некими волнами материи. Что это за волны, как их интерпретировать, как частица может одновременно обладать и волновыми свойствами - все это абсолютно не было понятно тогда, да и сейчас до конца неясно (здесь я могу сослаться на такие авторитеты, как Р.Фейнман и П.Дирак). При всех блестящих успехах квантовой теории, при всех ее фантастических достижениях, при том, что в наши дни многие ее разделы стали уже инженерными дисциплинами (как сопромат, например), логическая структура теории и ее суть до сих пор достаточно туманны.

Но сейчас разговор не об этом, а о том, что Шредингеру была чрезвычайно несимпатична концепция Нильса Бора о "квантовых скачках". Повторяю: у нас нет возможности даже поверхностно анализировать любую из проблем, о которой будет идти речь, поэтому все дальнейшее - это маленькое собрание притч.

Итак, концепция Бора не увлекала Шредингера. С другой стороны, имел место несомненный экспериментальный факт: атомные спектры дискретны, а теория Бора - симпатична она или нет - объясняет закономерности этих спектров.

Но в классической физике давно была известна огромная область, в которой регулярно встречались с дискретными решениями. Именно: теория волн. Например, струна, закрепленная на концах, может колебаться только с определенными частотами. Число возможных частот бесконечно, но их значения каждый раз строго определены. Они не могут быть любыми. Это дискретный набор. Все частоты кратны одной - основной. То же самое мы видим при колебаниях мембран; или воздуха в органных трубах.

Кстати, если быть совсем точным, смутную идею о том, что частицы могут обладать волновыми свойствами, еще до де Бройля высказывал Эйнштейн, а до него и Ньютон. Эйнштейн также первым обратил внимание научной общественности на работы де Бройля. Тем не менее большинство физиков восприняло идеи де Бройля весьма скептически (благо, найти слабые, неясные места у него было нетрудно).

Он решил написать какое-либо волновое уравнение для электрона и атома. Попросту он хотел провести какую-то аналогию между атомом и струной, или, если угодно, колебаниями жидкости в сосуде, или колебаниями электромагнитного поля в резонаторе.

Физики прекрасно знали, что колебательные процессы встречаются в самых различных разделах их науки. Но до сих пор всегда, когда писали волновые уравнения, было ясно по меньшей мере то, какой физический смысл имеет функция, для которой написано уравнение. Шредингер же совершенно не понимал, что такое его функция. Более того, он позже признавался, что даже не подозревал, какой успех ожидает его уравнение. Он пробовал.

Пробовал, потому что интуиция подсказывала: здесь что-то есть.

Но первая попытка, как рассказывает Дирак, закончилась печально. Шредингер ошибся (собственно, не ошибся, а не учел спин электрона, тогда еще неизвестный), и результаты его теории не совпали с экспериментом.

Реакция - типична для физика. Если теория не согласуется с опытом, метод порочен. И на несколько месяцев он забросил работу. Лишь позже Шредингер заметил, что, если ограничиться частным нерелятивистским случаем его теории, она дает правильные результаты. Тогда-то он и опубликовал свою работу, первую из тех, что привели к созданию волновой механики.

Мораль. В этой грубой, неточной схеме тем не менее можно усмотреть, как физик-теоретик приходит к открытию (в нашем случае - гениальному). Никакой логической строгости. Интуиция. Догадки. Аналогии. Сравнение с экспериментом. Если какая-то, пусть совершенно неясная, но внутренне непротиворечивая логическая схема приводит к совпадению с опытом - значит, "тут что-то есть".

А что именно - прояснит будущее. Может оказаться - и так было не раз, - что совпадение с опытом чисто случайно. Что угадан лишь ничтожный кусочек реальной картины. Может оказаться - и так было со Шредингером, - что вы нашли истину.

И еще одно: теория должна быть красива. Физик не всегда может логически обосновать новые идеи. Поэтому он апеллирует к интуиции. А если так - красота далеко не последний аргумент. Об этом много и настойчиво говорил Эйнштейн.

На первый взгляд кажется: систематический стиль мышления полностью противоположен подходу физика. Более того - враждебен.

Действительно, со времен Евклида в математике (в любом ее разделе) полновластно царствует аксиоматический метод, или дедуктивный. В грубых чертах он сводится к следующему. Математик строит некую абстрактную аксиоматическую, или дедуктивную, систему.

Понятно, эту нескончаемую цепочку необходимо оборвать волевым образом, иначе процесс любого доказательства также окажется нескончаемым и, следовательно, бессмысленным. Поэтому некоторые теоремы принимают как "данные свыше": они истинны и доказательства не требуют.

Как хорошо известно, назвали их аксиомами, или постулатами. Они - "символ веры" в данной области математики, если говорить на языке теологии, или, скажем, "устав караульной службы" - на армейском. Уставы не обсуждаются! Но выполняются.

На основе аксиом математик доказывает или опровергает (точнее - пытается доказать или опровергнуть) все другие теоремы чисто логическим путем.

Выбранные нами базисные аксиомы должны удовлетворять достаточно жестким требованиям.

Ясно, что, говоря о необходимости введения первичных объектов и основных соотношений между ними, мы буквально повторяем всю логику, которая привела нас к необходимости появления аксиом. Например, пусть мы доказываем какие-либо теоремы для треугольника... или семиугольника, или куба. Прежде всего, само собой, следует определить, что это за звери. В процессе определения с помощью более простых объектов мы непременно придем к необходимости оборвать в какой-то момент цепочку определений. Или - объявить какие-то объекты первичными. Повторим: они не определяются, а просто называются. В неявном виде свойства первичных объектов (или понятий) определяются аксиомами.

Итак, вводим аксиоматическую систему, а далее торжествует строгая безукоризненная логика. Полная противоположность работе физика-теоретика!

Все это очень красиво, притягательно и, как всякая идеальная схема, порой имеет к реальной жизни несколько отдаленное отношение. Но об этом чуть позже. Сейчас посмотрим на другой, пожалуй, более важный вопрос.

Совершенно абстрактные логические схемы, придуманные либо вне всякой связи с реальностью, либо для очень специальных и малоинтересных задачек, вдруг оказывались идеальным и мощным инструментом для познания реального мира.

Вот пример. Один из многих, но, быть может, самый эффектный.

В наше время теория вероятностей - это математический фундамент и квантовой механики, и статистической физики. Теория вероятностей применяется при определении структуры галактик, вычислении скоростей химических и ядерных реакций, расчете суммы страховых премий, составлении артиллерийских таблиц и... проще пересчитать, где ее нет.

В блестящей двухтомной монографии В.Феллера "Введение в теорию вероятностей и ее приложения" (М., 1984) автор между прочим сообщает, что американские невесты следят за статистикой, оценивая свои шансы выйти замуж. Вполне можем поверить. Хотя умы девушек, как правило, не слишком засорены математикой, но каждая встречная вам объяснит, что Иваново - "город невест", а военный городок N предоставит изрядный набор женихов.

А в пору своего рождения (тому примерно четыре века) теория вероятностей использовалась исключительно при анализе азартных игр. Проблема, несомненно, прикладная, для некоторых и весьма актуальная, но, согласимся, все же не фундаментальная и всеобъемлющая.

Быть может, теория вероятностей - самый поразительный раздел математики, ибо она устанавливает четкие, строгие закономерности для тех явлений, где изначально никаких законов вроде бы нет.

Каждое отдельное событие совершенно случайно, но у нас нет места для серьезного разговора о математической статистике и теории вероятностей. Ограничимся замечанием: исключительное значение теории вероятностей - в том, что очень часто "наивный здравый смысл" (или наша интуиция) не в состоянии даже грубо предугадать ее выводы. Более того, они (выводы) могут просто противоречить интуитивным представлениям.

Вот один забавный пример. У военных, врачей, геологов бытует некое поверье - "закон парных случаев". Суть в том, что если произошло какое-то достаточно неординарное событие (катастрофа, редкое заболевание и т.п.), то в тот же день (или очень скоро) аналогичное событие совершенно независимо повторится еще раз. Это кажется столь странным, что, натурально, стали приплетаться разнообразные потусторонние резоны.

На самом деле мы встречаем тут элементарное, но поражающее воображение следствие теории вероятностей плюс свойство человеческой психики - запоминать странное. Любознательный читатель, уверен, получит удовольствие, встретившись с этой темой во второй главе книги Феллера.

Вот другой пример. Еще в древности греки, индусы, китайцы, египтяне обнаружили замечательные закономерности и восхитительные загадки в свойствах чисел, причем с практикой это не имело ни малейшей связи. Но все было столь красиво и загадочно, что математики занимались абстрактными объектами интеллекта, быть может, даже с большим увлечением, чем геометрией, астрономией, созданием механизмов. Само собой появилась идея: числа - язык богов, они олицетворяют некую высшую идею мироздания, выражают нечто сокровенное.

Правда, ни тогда, ни теперь никто не смог бы разъяснить точный смысл такого рода возвышенных констатаций (как всегда, коль разговор заходит о боге или богах), но некоторый резон тут есть. (Запомним! Мы еще вернемся к этому.)

Как бы то ни было, идеи эти (у греков наиболее отчаянно их проповедовали пифагорейцы) повлияли на математиков и физиков в средние века (да и в наши дни также имеют хождение).

Исследуя свойства чисел, греки продвинулись основательно. Особо математиков поразило открытие иррациональных чисел (что видно из самого названия). Мир чисел оказался значительно богаче и сложней, чем представлялось поначалу. Видимо, появление иррациональных чисел было продиктовано геометрией, хотя Евклид доказал свою знаменитую теорему чисто алгебраически.

Сейчас это — хорошо известная школьная теорема: если n/m - несократимая дробь, то не существует таких n и m, чтобы выполнялось равенство n²/m² = 2.

Иррациональные числа смутили адептов божественного порядка в мире чисел, но не поколебали.

Из теоремы, в частности, следует: иррациональных чисел вида, например, корень n-ой степени из р , где n - натуральное, а p - простое, неизмеримо больше, чем рациональных. Заметим, впрочем, что на самом деле проблема - "кого больше" существенно хитрей, если разговор идет о "бесконечных множествах". Теория множеств тогда, конечно, была неизвестна, но простая идея, что каждому рациональному числу (целому или дроби) можно поставить в соответствие бесконечно много иррациональных, - бесспорно, была ясна греческим математикам.

И в ту же эпоху возникает теория чисел - возможно, самая удивительная ветвь математики. Вот уже скоро два с половиной тысячелетия лучшие ученые мира пытаются найти загадочные законы царства целых чисел. И в первую очередь с древних времен (и до наших дней) привлекали математиков простые числа. Почти каждый из великих в большей или меньшей мере отдал дань теории чисел, в частности изучению простых. Евклид, Пьер Ферма, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс... Гаусс даже восторженно написал как-то: "Математика - царица наук, а теория чисел - царица математики". К мнению "короля математиков", видимо, прислушаться следует.

Парадоксальная, странная и удивительная красота теории чисел, прежде всего, быть может, обнаруживает себя в пленительной простоте формулировок невероятных по сложности теорем.

Вспомним, например, известную проблему близнецов. Среди простых чисел встречаются странные пары: 5, 7; 11, 13; 17, 19; 29, 31; 41, 43... и т.д. Спрашивается: оборвется ли где-либо этот ряд или же он продолжается до бесконечности? Как видим, формулировка теоремы вполне ясна способному ученику второго-третьего класса.

Ни Эйлер (а он был гений), ни Гаусс (и он был гений) и никто другой из сотен блестящих умов не нашел ответа до наших дней.

Всему миру известна великая теорема Ферма. О ней еще будет особый разговор в третьей части наших историй. Загадка Ферма терзала математиков три с лишним века.

Впрочем, главная загадка теории чисел в другом. Да, математики убеждены в ее исключительном значении для науки. Эта почти мистическая вера на самом деле определяется в конечном счете одним аргументом - красотой.

Так вот, теорией чисел восхищаются все, но сколько-нибудь ее заметного влияния на другие разделы математики покуда не наблюдается. Тем более не используется теория чисел в прикладных задачах (редкие исключения лишь подтверждают правило).

Напротив, в теории чисел используют сегодня самый утонченный математический аппарат, привлекают внешне весьма далекие разделы математики. Глубокая и до конца не понятая связь теории чисел и остальной математики уже установлена, однако пока она лишь односторонняя. Но кто знает, что будет завтра.

В истории математики (и теоретической физики) много раз случалось, что какая-либо частная, вроде бы изолированная от остальной математики теория неожиданно оказывалась на генеральном направлении развития науки и, более того, адекватно описывала новооткрытые законы физики.

Функциональный анализ, теория групп, геометрия искривленных пространств - все это сегодня рабочий аппарат квантовой механики и космологии. В XIX в. абстрактные разделы математической логики были интересны десятку-другому неизвестных чудаков, провинциальных профессоров. Сейчас их изучают (с переменным успехом) многие тысячи студентов на факультетах прикладной математики и управления.

Вернемся к нашему вопросу. Как же все-таки определить, что именно интересно в математике? Повторимся: все математики тут дружно переходят на язык поэтов. Критерий - некая непонятная, загадочная внутренняя красота, которая равно пленяет и специалиста, и дилетанта. Это первый и, пожалуй, главный критерий для оценки работ в чистой математике. Вот что писал, например, замечательный английский математик Г.Х.Харди:

"Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики".

Кстати, физики при оценке новых результатов (как теоретических, так и экспериментальных) полностью солидарны с математиками и также апеллируют к загадочной красоте.

Беда в том, что красота - настолько зыбкое, неопределенное понятие, что никакая логика не сможет объяснить, что это, собственно, такое. Здесь-то все и начинается... Теория, замечательно красивая для физика, математику может предстать как довольно бессвязный набор совершенно нелогичных, смутных и неопределенных идей. Напротив, физик может отмахнуться от какого-нибудь исключительно изящного и важного (для математика!) аксиоматического обоснования.

Например, от строгого обоснования интегрального исчисления, или - от теории вероятностей! Однако ничего ясного по этому поводу никто сказать не в состоянии, точно так же, как невозможно объяснить обаяние музыки Моцарта или Бетховена. (Если только вы не музыкальный критик, конечно!)

Кстати, математики очень любят сравнивать теорию чисел с музыкой, подчеркивают ее "духовное существо". Как несколько выспренне писал один математик XIX столетия, "душа математики ярче всего проявилась в теории чисел".

На обыденном языке все ученые наши слова сводятся к двум вопросам: почему так красивы все киски? и чем данная Мурка красивее данного Барсика? Читатели легко могут убедиться, что сформулировать сколь-нибудь логичный ответ практически невозможно.

Возвращаясь от котов к математике и физике, напомним еще раз: физикам-теоретикам в одном отношении все же проще. Для оценки новой теории у них есть хотя бы два ясных показателя.

Во-первых, теория должна хорошо и последовательно объяснять известные эксперименты.

Но этого мало! Необходимо, но недостаточно, - как любят говорить математики.

Во-вторых, - и, быть может, главное! - теория должна быть эвристична. Иначе говоря, теория должна предлагать новые эксперименты и, самое важное, предсказывать их результаты.

При формулировке новой фундаментальной идеи от автора не требуют какого-либо последовательного обоснования. Коль удовлетворены два наших требования, теория имеет право на жизнь. Но дальше, при разработке идеи, автор обязан следовать правилам логики. Тут стоит снова вспомнить о квантовой механике. Мы сделаем это чуть позже.

Часто можно услышать: в старой физике все было ясно, понятно. Но в нашем веке физики все запутали. На самом деле в классической физике, как только мы касались свойств вещества, становилось непонятным все. Хуже того - основы нашей науки оказывались совершенно противоречивыми (чуть подробней об этом в "Истории четвертой"). Но... результаты были великолепны!

Вот, видимо, центральное различие между физиками и математиками.

Ради объяснения свойств реального мира и (запомним!) предсказания новых эффектов физик готов забыть об основах, о логике (о "приличиях") и на время продать душу дьяволу в надежде, что ее спасут следующие поколения!

Впрочем, математики также... Но все же не в такой степени!

Вот, пожалуй, и все. А если вы не убеждены (касательно математиков), то на очереди две истории.

Леонард Эйлер был одним из самых фантастических ученых в истории науки. Рассказывать о нем можно бесконечно, и любые эпитеты тут скудны и жалки.

Признаюсь, читая о Ньютоне, Ферма, Эйлере, как-то начинаешь понимать сентиментально восторженных гимназисток начала века с их вечной мечтой о прекрасном принце. Но... не современных девиц, готовых воздвигнуть алтарь над брючной пуговицей крутого рок-идола.

Не было такой области математики, в которой он не достиг бы фундаментальных результатов. Число работ его умопомрачительно. Перед смертью он обронил как-то, что Петербургской академии понадобится сорок лет, чтобы разобрать его архив.

Я хочу привести здесь один его результат, который при удивительной внешней простоте, быть может, наиболее фантастичен. Это - формула Эйлера:

Как Эйлер пришел к своей формуле, хорошо известно.

Подставьте в первый ряд вместо x --> ix, и вы легко убедитесь в справедливости формулы Эйлера. Положив в ней x =(pi), получим

Очень простая и совершенно неожиданная связь трех замечательных чисел e, (pi) и i.

Но дело-то в том, что с позиций формальной логики эта операция - вопиющее беззаконие. Она чудовищна. О каком тут доказательстве можно было говорить, если самого понятия возведения в произвольную мнимую степень не существовало (я имею в виду времена Эйлера). Это абсурд. Но результат так красив. Так заманчив. "Экспериментальные факты" просто заставляют поверить, что должно быть так, что иначе и быть не может. И Эйлер погрешил против религии математика.

Для математиков формула Эйлера стала потрясением. В определенном смысле она остается таковой и в наши дни. Вот по-детски восторженный отрывок из книги американских математиков "Математика и фантазия" (Kasner E.N., Newman J. Mathematics and the imagination. N.Y., 1940.):

"Эта знаменитая формула - возможно, самая компактная и знаменитая из всех формул - была обнаружена Эйлером еще до открытия ее де Муавром. Она обращена к мистику, равно как и к естествоиспытателю, философу и математику. Но для каждого она имеет особое значение".

Историки математики согласны: Эйлер получил этот результат раньше, чем А. де Муавр.

А дальше авторы цитируют несколько ошалелое обращение к студентам одного профессора математики уже через сто с лишним лет после открытия формулы: "Джентльмены, это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять ее, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной".

Ну, термин "доказали" здесь, мягко говоря, спорен, если следовать аксиоматическому методу формально. Для вывода было необходимо принципиально расширить известный круг наших понятий и ввести новые, но так, чтобы они были согласованы с уже известными; чтобы не нарушили логическую структуру всей "старой" математики, но распространили ее на новые объекты. В наше время этот прием стал стандартным.

Но в первый раз... Впрочем, "формула Эйлера" в те времена, что называется, носилась в воздухе, и сейчас непросто сказать, кто из математиков XVIII в. был первым. Как понимают читатели, в те времена обмениваться информацией было несколько сложней, чем теперь, и ко многим результатам независимо приходили разные авторы.

Очень короткая мораль. Мне кажется, что история с открытием Эйлера поразительно напоминает историю уравнения Шредингера.

Посмотрим еще на одну историю. Не буду навязывать свое личное впечатление (оно, в общем, мало интересно), но для меня открытие Эйлера (да! снова он!), пожалуй, самый невероятный пример математического мышления. Никто из современников Эйлера и близко не приближался к такому фантастическому результату.

Итак, в конце XVII в. Якоб Бернулли сформулировал задачу: требуется вычислить сумму ряда обратных квадратов целых чисел

Якоб Бернулли - великий математик, но решить свою задачу не смог. Эйлер был ученик его брата Иоганна (тоже прекрасного математика), от которого и узнал о проблеме. Поначалу все попытки Эйлера получить точный ответ не проходили.

Он нашел несколько приближенных формул для суммы. Причем для практических применений - очень хороших (точность: семь значащих цифр!). Физик, возможно, на этом мог бы успокоиться. Если только разговор не о фундаментальных законах, такая точность, как правило, сильно завышена. И не стоит тратить время на дальнейшее. Однако кодекс чести математика диктовал: необходимо найти точное решение. Эйлер его отыскал совершенно поразительным образом.

Но прежде всего посмотрим на невероятный, удивительный ответ:

Более того, тем же методом Эйлер легко показал:

Откуда, каким образом, почему загадочное, иррациональное число pi выскочило при суммировании самых обычных, простейших дробей? Воля ваша, а 300, 200 лет назад тут невольно появлялись мысли о вмешательстве каких-то трансцендентальных высших сил.

Кстати, pi - не просто иррациональное число. Оно принадлежит к особому классу так называемых трансцендентных чисел. Эти числа невозможно связать с целыми числами накаким алгебраическим соотношением. Они не могут быть корнями полинома с рациональными коэфициентами.

И некоторые математики довольно интенсивно развивали подобные идеи, в частности в связи с суммированием бесконечных рядов. В те времена (как, впрочем, и сегодня) все непонятное, удивительное списывали на текущий счет высших сил.

Но посмотрим, что сделал Эйлер. Было хорошо известно: если уравнение n-степени a₀ +a₁x + ... +a_nxⁿ = 0 имеет n различных корней k₁...k_n, то многочлен P_n(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ для любого x можно представить в виде:

Сравнивая члены с одной и той же степенью x, легко получаем простые соотношения между коэффициентами и корнями уравнения. Эти соотношения (обобщенная теорема Виета) были хорошо известны. Простейшие из них:

Мы считаем, что a₀ не равно нулю или что ни один из корней не равен нулю. В противном случае степень уравнения понижается.

Корни его хорошо известны: pi, - pi; 2pi, - 2pi; 3pi, - 3pi; и т.д.

Представим sin x в виде бесконечного ряда. Тогда получим уравнение "бесконечной степени"

корни которого pi², (2pi)², (3pi)² и т.д. Вполне естественно, этих корней бесконечно много.

А теперь допустим, что для этого уравнения выполняются те же соотношения между коэффициентами a₀ и a₁, что и для обычных уравнений. Сразу получим